ЦИКЛОИДАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ (продолжение)

Пусть теперь окружность катится без скольжения не по прямой, а по окружности с внешней стороны. В зависимости от соотношения между ради­усами неподвижной и катящейся окружности будут получаться различные кривые. Рассмотрим некоторые из них.

Кривая, которая получается как траектория движения точки, закреп­ленной на окружности, катящейся с внешней стороны по другой окружности того же радиуса, называется кардиоидой.

Построим некоторые точки этой кривой. Пусть С – точка, закрепленная на окружности, в начальный момент времени находилась в положении А (рис. 1). Разделим неподвижную ок­ружность на 8 равных частей точками А₁, А₂, ..., А₈ = А.

Ясно, что когда окружность сделает один обо­рот, т.е. повернется на 360, она займет исходное положение вместе с точкой С.

Если окружность сделает половину полного оборота, т.е. повернется на 180, то она займет положение (4), а точка С переместится в положе­ние С₄.

Если окружность повернется на угол 45, то окружность переместит­ся в положение (1), а точка С переместится в положение С₁.

На рисунке 1 показаны также другие точки кардиоиды, соответс­твующие оставшимся углам поворота окружности кратным 45.

Соединяя плавной кривой построенные точки, получим кривую, соот­ветствующую одному полному обороту окружности. При следующих оборотах окружности точка С будет описывать ту же самую кривую.

Рассмотрим теперь случай, когда окружность катится по окружности с внутренней стороны и радиус неподвижной окружности в четыре раза больше радиуса катящейся окружности. Получаемая при этом траектория движения точки, закрепленной на катящейся окружности, называется аст­роидой (рис. 2).

 

Задачи

1. Имеет ли кардиоида: а) оси симметрии; б) центр симметрии?

2. Имеет ли астроида: а) оси симметрии; б) центр симметрии?

3. Окружность радиуса 1 см катится с внутренней стороны по другой окружности радиуса 4 см. Нарисуйте соответствующую астроиду.

4. Нарисуйте кривую, получающуюся как траектория движения точки, закрепленной на окружности радиуса 2 см, катящейся с внешней стороны по окружности радиуса: а) 4 см; б) 5 см; в) 1 см.

5. Нарисуйте кривую, получающуюся как траектория движения точки, закрепленной на окружности радиуса 2 см, катящейся с внутренней сторо­ны по окружности радиуса: а) 6 см; б) 5 см; в) 4 см.

6. Докажите, что кардиоида обладает следующим свойством: если провести произвольную прямую через точку А (рис. 3) и от точки B ее пересечения с неподвижной окружностью отложить в обе стороны отрезки равные диаметру окружности, то концы этих отрезков С и D будут принадлежать кардиоиде.

7. Правильный n-угольник катится с внешней стороны по равному с ним правильному n-угольнику (рис. 4). Нарисуйте траекторию вершины, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6.